Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre ellos.
Estudiaremos el
efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y se aprenderá cómo
reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente más simple.
En
los cuerpos rigidos actúan fuerzas externas e internas
Fuerzas externas:
Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rigido en
consideración
Fuerzas internas: Son
aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman un cuerpo rigido
Dos ejemplos de
sistemas de partículas. En la figura (a), el sistema está constituido por las
masas 1 y 2. Sobre él actúan dos fuerzas externas (en verde) y dos fuerzas
internas (en rojo). En la figura (b), el sistema está constituido sólo por la
partícula de masa m1. Las fuerzas que actúan sobre él son todas externas
• Principio de transmisibilidad
Establece que las condiciones de equilibrio o el movimiento
de un cuerpo rígido se modificará en caso de las fuerzas que actúan sobre un
punto dado en el cuerpo rígido se sustituye por un la fuerza con la misma
intensidad, misma dirección y mismo sentido, pero actuando en otro punto, ya
que las dos fuerzas tienen la misma línea acción
Producto vectorial de dos verctores
Es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional.
El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y
por lo tanto normal al plano que los contiene.
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
Producto vectorial
expresado en forma de componentes rectangulares:
Momento de una fuerza con respecto a un punto
Se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado)
a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de
posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se
toma el momento) por el vector fuerza, en ese orden. También se denomina
momento dinámico o sencillamente momento.
M=F⋅r⋅sin α
donde:
- M es el módulo del momento de una fuerza F→ que se aplica sobre un cuerpo. Su
unidad en el S.I. es el newton por metro (N · m).
- F es el módulo de dicha fuerza. Su unidad en el S.I. es el
newton.
- r es el módulo del vector de posición que une el centro o eje de
giro con el punto origen de la fuerza aplicada. Su unidad en el S.I. es el
metro.
- α es el ángulo formado entre F→ y r→.
El valor del momento M de una
fuerza se puede obtener también como:
M=F⋅d
donde:
ü M es el módulo del momento de una
fuerza F→ que se aplica sobre un cuerpo. Su unidad en el S.I. es el newton por
metro (N · m).
ü F es el módulo de la fuerza que
se aplica sobre el cuerpo. Su unidad en el S.I. es el newton.
ü d es la distancia entre el eje de
giro y la recta sobre la que descansa la fuerza F. Su unidad en el S.I. es el
metro.
Teorema de Varignon
Dadas varias fuerzas
concurrentes, el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al
momento de la resultante de ellas, aplicada en el punto de concurrencia
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar
de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q y
el coseno del ángulo α formado por P y Q . El producto escalar de P y Q se
denota mediante P x Q. Entonces, se escribe:
P x Q = PQ x cos α
El momento de una fuerza es una rotación de un
cuerpo, Hibbeler (2010) nos explica que es una tendencia a que un cuerpo gire
alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza.
En la figura 6 se muestra lo que físicamente es un
momento, existe una fuerza aplicada en la mano, esta fuerza sigue una línea de
acción con base al principio de transmisibilidad hasta una distancia
perpendicular (triangulo rectángulo) a un cierto punto donde producirá el giro;
sin embargo el giro dependerá mucho al momento que encontrar el sentido o el
signo que deberá llevar. Es posible determinar el sentido de giro, en dos
dimensiones, con usar la regla de la mano derecha. En el caso de las tres
dimensiones se sigue usando la regla pero si no tienes una práctica adecuada o
los conceptos muy claros no podrás usar muy bien está herramienta. No está
comprobado pero puedes sufrir de pequeñas lesiones en vuestra mano derecha.
Hibbeler (2010), así mismo, nos explica de una
forma sencilla, aunque técnicamente hablando es sencilla, las condiciones a
seguir para determinar el sentido con el uso de la mano derecha como se
visualiza en la figura 7. Dice que si el sentido que produce es acorde a las
horario a las manecillas del reloj es un sentido negativo, y se comprueba
también con el producto cruz, en contraparte si el sentido es contrario a las
manecillas del reloj es sentido será positivo.
Un pequeño truco es determinar muy bien la fuerza
con respecto al punto a "girar".
Ahora bien, tomemos en cuenta la figura 8, se
muestra tres vectores y un vector momento. Los vectores son ahora existe un
cuarto vector que es el resultado del producto cruz entre el
También es posible visualizar un segmento de línea OL donde está situado
el vector
y que forma una línea perpendicular al momento producido por el vector
fuerza y el vector deslizante
que se obtiene como la resta entre el punto de aplicación y el punto de
la fuerza (ósea desde el punto O al punto A).
Cada uno de los vectores se puede representar en
sus componentes rectangulares, los cuales son los vectores unitarios o
canónicos en tres dimensiones r "Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con
respecto a OL se define como la proyección OC del momento MO sobre el eje
OL"(Beer y Johnston, 2010).
En términos algebraicos el momento de una fuerza
respecto a un eje es un triple producto escalar y es dada por la siguiente
forma:
i,j y k Para visualizar las operaciones correspondientes podemos exportar
la fórmula en una determinante de 3x3, se escribe así:
Se sobreentiende que los vectores se descomponen en sus
componentes rectangulares; ya se ha explicado anteriormente el método para
resolver la determinante 3x3 es el método de cofactores aunque,
independientemente, el lector puede usar el método que más le resulte fácil.
Usar la regla de Sarrus o el método de condensación da lo igual el resultado.
"Si dos fuerzas F y –F que
tienen la misma magnitud, línea de acción paralelas y sentidos opuestos forman
un par (Beer y Jonhston.2010)".
En la vida real un momento par ocurre al cambiar
una llanta con la ayuda de la cruceta; si sumamos vectorialmente dos vectores
fuerzas de cualquier magnitud obtendremos como resultado el cero, puesto que se
suma respecto al negativo de la positiva.
El momento de un par respecto a un punto o,
"es la suma de los momentos de las dos fuerzas que constituyen al par
(McLean y Nelson) Considerando la figura 9, observamos que existe dos puntos de
acción donde actúan las fuerzas opuestas, cada una con un momento específico,
como el momento par es la suma de los dos momentos de fuerza tendremos que:
Ahora, en primera instancia se puede visualizar el
momento de la fuerza positiva en un punto a respecto al momento al punto o,
ahora existe una distancia perpendicular r, del punto a al b, donde el cual
actúa una fuerza negativa de misma magnitud y línea de acción que la fuerza en
a, también existe un momento de b respecto o.
Si definimos al vector r como la
diferencia de a y b, se concluye que el momento de un par respecto o es el
vector:
Ahora, si queremos conocer la magnitud o módulo del
momento del producto vectorial, ésta definida como:
"Se trata de un vector perpendicular al plano
que contiene las dos fuerzas (Beer y Johnston, 2010)". Los pares se pueden
escribir como cualquier vector, con las leyes vectoriales.
"Un par y una fuerza única en el mismo plano o en planos
paralelos pueden combinarse y obtener una sola fuerza de la misma magnitud y
sentido que la fuerza dada y paralela a ella (McLean y Nelson)".
Autores:
Jhose Roa #2013203127
Gabriela Rosales # 2013203131
Mecanica Racional
Seccion 05
Bibliografia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_rígido
fisica1paratodos.blogspot.com/2011/11/mecanica-del-cuerpo-rigido.html
Mecanica Vectorial Para Ingenieros Estatica 9 - Beer Johnston
