Momento

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

VICE RECTORADO "LUIS CABALLERO MEJÍAS"

MECÁNICA RACIONAL

ING. DUBRASKA RODRIGUEZ.

Cuerpos rígidos: Equilibro de cuerpos rígidos

 

Para comenzar…. ¿Qué son cuerpos rígidos?

Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre ellos.

Estudiaremos el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y se aprenderá cómo reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente más simple.

En los cuerpos rigidos actúan fuerzas externas e internas

Fuerzas externas: Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rigido en consideración

Fuerzas internas: Son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman un cuerpo rigido

Dos ejemplos de sistemas de partículas. En la figura (a), el sistema está constituido por las masas 1 y 2. Sobre él actúan dos fuerzas externas (en verde) y dos fuerzas internas (en rojo). En la figura (b), el sistema está constituido sólo por la partícula de masa m1. Las fuerzas que actúan sobre él son todas externas

• Principio de transmisibilidad

Establece que las condiciones de equilibrio o el movimiento de un cuerpo rígido se modificará en caso de las fuerzas que actúan sobre un punto dado en el cuerpo rígido se sustituye por un la fuerza con la misma intensidad, misma dirección y mismo sentido, pero actuando en otro punto, ya que las dos fuerzas tienen la misma línea acción

Producto vectorial de dos verctores

Es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Producto vectorial expresado en forma de componentes rectangulares:

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector fuerza, en ese orden. También se denomina momento dinámico o sencillamente momento.

M=F⋅r⋅sin α

donde:

• M es el módulo del momento de una fuerza F→ que se aplica sobre un cuerpo. Su unidad en el S.I. es el newton por metro (N · m).
• F es el módulo de dicha fuerza. Su unidad en el S.I. es el newton.
• r es el módulo del vector de posición que une el centro o eje de giro con el punto origen de la fuerza aplicada. Su unidad en el S.I. es el metro.
• α es el ángulo formado entre F→ y r→.

El valor del momento M de una fuerza se puede obtener también como:

M=F⋅d

donde:

ü  M es el módulo del momento de una fuerza F→ que se aplica sobre un cuerpo. Su unidad en el S.I. es el newton por metro (N · m).

ü  F es el módulo de la fuerza que se aplica sobre el cuerpo. Su unidad en el S.I. es el newton.

ü  d es la distancia entre el eje de giro y la recta sobre la que descansa la fuerza F. Su unidad en el S.I. es el metro.

Teorema de Varignon

Dadas varias fuerzas concurrentes, el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas, aplicada en el punto de concurrencia

 Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo α formado por P y Q . El producto escalar de P y Q se denota mediante P x Q. Entonces, se escribe:

P x Q = PQ x cos α

Momento de una fuerza respecto a un eje

El momento de una fuerza es una rotación de un cuerpo, Hibbeler (2010) nos explica que es una tendencia a que un cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza.

En la figura 6 se muestra lo que físicamente es un momento, existe una fuerza aplicada en la mano, esta fuerza sigue una línea de acción con base al principio de transmisibilidad hasta una distancia perpendicular (triangulo rectángulo) a un cierto punto donde producirá el giro; sin embargo el giro dependerá mucho al momento que encontrar el sentido o el signo que deberá llevar. Es posible determinar el sentido de giro, en dos dimensiones, con usar la regla de la mano derecha. En el caso de las tres dimensiones se sigue usando la regla pero si no tienes una práctica adecuada o los conceptos muy claros no podrás usar muy bien está herramienta. No está comprobado pero puedes sufrir de pequeñas lesiones en vuestra mano derecha.

Hibbeler (2010), así mismo, nos explica de una forma sencilla, aunque técnicamente hablando es sencilla, las condiciones a seguir para determinar el sentido con el uso de la mano derecha como se visualiza en la figura 7. Dice que si el sentido que produce es acorde a las horario a las manecillas del reloj es un sentido negativo, y se comprueba también con el producto cruz, en contraparte si el sentido es contrario a las manecillas del reloj es sentido será positivo.

Un pequeño truco es determinar muy bien la fuerza con respecto al punto a "girar".

Ahora bien, tomemos en cuenta la figura 8, se muestra tres vectores y un vector momento. Los vectores son ahora existe un cuarto vector que es el resultado del producto cruz entre elTambién es posible visualizar un segmento de línea OL donde está situado el vectory que forma una línea perpendicular al momento producido por el vector fuerza y el vector deslizanteque se obtiene como la resta entre el punto de aplicación y el punto de la fuerza (ósea desde el punto O al punto A).

Cada uno de los vectores se puede representar en sus componentes rectangulares, los cuales son los vectores unitarios o canónicos en tres dimensiones r "Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento MO sobre el eje OL"(Beer y Johnston, 2010).

En términos algebraicos el momento de una fuerza respecto a un eje es un triple producto escalar y es dada por la siguiente forma:

i,j y k Para visualizar las operaciones correspondientes podemos exportar la fórmula en una determinante de 3x3, se escribe así:

Se sobreentiende que los vectores se descomponen en sus componentes rectangulares; ya se ha explicado anteriormente el método para resolver la determinante 3x3 es el método de cofactores aunque, independientemente, el lector puede usar el método que más le resulte fácil. Usar la regla de Sarrus o el método de condensación da lo igual el resultado.

Momento de un par

"Si dos fuerzas F y –F que tienen la misma magnitud, línea de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par (Beer y Jonhston.2010)".

En la vida real un momento par ocurre al cambiar una llanta con la ayuda de la cruceta; si sumamos vectorialmente dos vectores fuerzas de cualquier magnitud obtendremos como resultado el cero, puesto que se suma respecto al negativo de la positiva.

El momento de un par respecto a un punto o, "es la suma de los momentos de las dos fuerzas que constituyen al par (McLean y Nelson) Considerando la figura 9, observamos que existe dos puntos de acción donde actúan las fuerzas opuestas, cada una con un momento específico, como el momento par es la suma de los dos momentos de fuerza tendremos que:

Ahora, en primera instancia se puede visualizar el momento de la fuerza positiva en un punto a respecto al momento al punto o, ahora existe una distancia perpendicular r, del punto a al b, donde el cual actúa una fuerza negativa de misma magnitud y línea de acción que la fuerza en a, también existe un momento de b respecto o.

Si definimos al vector r como la diferencia de a y b, se concluye que el momento de un par respecto o es el vector:

Ahora, si queremos conocer la magnitud o módulo del momento del producto vectorial, ésta definida como:

"Se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas (Beer y Johnston, 2010)". Los pares se pueden escribir como cualquier vector, con las leyes vectoriales.

 "Un par y una fuerza única en el mismo plano o en planos paralelos pueden combinarse y obtener una sola fuerza de la misma magnitud y sentido que la fuerza dada y paralela a ella (McLean y Nelson)".

Autores:

Jhose Roa #2013203127

Gabriela Rosales # 2013203131

Mecanica Racional

Seccion 05

Bibliografia:

https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_rígido

fisica1paratodos.blogspot.com/2011/11/mecanica-del-cuerpo-rigido.html

Mecanica Vectorial Para Ingenieros Estatica 9 - Beer Johnston